Condiciones iniciales
Se dan el valor y la derivada en el mismo punto. Un objeto que cae desde 10 m con 5 m/s:
Todo lo que cambia obedece una ecuación.
Una taza de café que se enfría, una epidemia que crece, un cohete en órbita. Las ecuaciones diferenciales describen qué tan rápido cambian las cosas, y con eso predicen lo que sigue.
¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación que incluye las derivadas de una función. No dice cuánto vale algo: dice cómo cambia. Resolverla es reconstruir la función a partir de ese cambio.
- ¿De dónde salen?
- De aplicar una ley física a cambios muy pequeños. Si pensamos en lo que pasa en un instante, la rapidez del cambio aparece como derivada y la ley se vuelve una ecuación diferencial.
- ¿Cómo se resuelven?
- Primero se identifica qué tipo de ecuación es. Luego se intenta integrar; si no sale directo, se hace un cambio de variable o una transformación que la lleve a integrales conocidas.
- ¿Qué tan exacto debe ser el modelo?
- Lo suficiente. Un modelo perfecto que nadie puede resolver no sirve. Y la solución nunca es más confiable que las suposiciones que se hicieron para plantearla.
Antes de resolver, hay que reconocerla.
Toma una ecuación cualquiera y hazle cinco preguntas.
Ordinaria o parcial
Ordinaria si todas las derivadas son respecto a una sola variable. Parcial si hay derivadas parciales respecto a dos o más.
Orden
El de la derivada más alta. Está en forma estándar si esa derivada tiene coeficiente 1.
Lineal o no
Lineal si y y sus derivadas aparecen a la primera potencia, sin multiplicarse entre sí ni dentro de funciones como sen y.
Homogénea
Una lineal es homogénea si el término que no lleva y, R(x), es cero.
Coeficientes
Constantes si son números; variables si alguno depende de x.
Sistema
Varias ecuaciones acopladas con varias funciones incógnitas. Así se modelan depredadores y presas, o epidemias.
Ponte a prueba
El ejercicio de la Unidad 1. Piensa la respuesta y luego toca la ecuación.
Resolver es encontrar una función.
Y casi nunca es una sola: hay una familia entera, y una condición inicial elige a un miembro.
Su solución general tiene una constante libre:
Todas terminan en , porque se apaga. Es una caída exponencial hacia el equilibrio.
- General
- Tiene constantes libres. Una ecuación de orden n lleva n constantes.
- Particular
- La que queda al darle valor a las constantes.
- Singular
- Cumple la ecuación pero no sale de la general. Por ejemplo, en .
- Explícita
- Con y despejada: .
- Implícita
- Una relación entre x y y: resuelve .
- Trivial
- La que vale cero en todo el intervalo.
Condiciones de frontera
Se dan valores en dos puntos distintos. Una barra con un extremo a 100 °C y el otro a 50 °C:
Existencia y unicidad. Si y son continuas cerca de , el problema tiene una solución y solo una. Para las no lineales , basta que y sean continuas.
Seis métodos, seis tipos de ecuación.
No hay un método que sirva para todas. Elige uno para ver cuándo se usa y un ejemplo resuelto paso a paso.
Detrás: el oscilador de Van der Pol, . Todas sus soluciones terminan en el mismo ciclo.
Diez personas, diez problemas reales.
Cada una convirtió una pregunta del mundo en una ecuación diferencial. El fondo de cada caso es su propia ecuación.
De Leibniz a Lorenz.
Casi 300 años. Desliza para recorrerlos.
Ahora te toca a ti.
Diecisiete ejercicios de las tres unidades, con pistas, solución paso a paso y comprobación de tu resultado.
Roberto Zúñiga Culebro
Docente de Ecuaciones Diferenciales
“Para resolver una ecuación diferencial primero hay que identificarla y después arriesgarse en su solución.”